| Авторы |
Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и математического моделирования, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), tvr59@mail.ru
Новикова Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационной безопасности автоматизированных систем, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), oly-novikova@yandex.ru
|
| Аннотация |
Актуальность и цели. Нахождение точных решений нелинейных уравнений в частных производных – одна из основных задач теории нелинейных систем. Для интегрируемых систем разработан ряд методов, но в силу сложности различных нелинейных уравнений не существует единого способа и приема их решения. Один из эффективных методов – применение дифференциальных связей Бэклунда для построения точных решений нелинейных уравнений. Преобразования Бэклунда дают возможность перейти к более простому уравнению,
а применение дифференциальных связей – получить решение одного из уравнений, если решение другого известно. Кроме этого, данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами. В последнее время в этой области было проведено множество исследований. Цель работы – получение решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных второго порядка с помощью дифференциальных связей Бэклунда.
Материалы и методы. Рассматривается нахождение решений нелинейных дифференциальных уравнений с применением дифференциальных связей Бэклунда. Построение преобразований Бэклунда базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа – Ампера.
Результаты. Для исследуемых в работе нелинейных гиперболических уравнений в частных производных получены точные решения с помощью дифференциальных связей Бэклунда; доказано получение решений одного из уравнений, если решение другого известно; проанализированы различные случаи получения решений данным методом.
Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Найденные решения могут послужить основой для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также для решения прикладных задач в различных областях естествознания.
|
| Список литературы |
1. Ремизов, И. Д. Решение уравнения Шредингера с помощью оператора сдвига / И. Д. Ремизов // Математические заметки. – 2016. – Т. 100, № 3. – С. 477–480.
2. Смирнов, А. О. Решение нелинейного уравнения Шредингера в виде двухфазных странных волн / А. О. Смирнов // Теоретическая и математическая физика. – 2012. – Т. 173, № 1. – С. 89–103.
3. Демонтис, Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега деФриза / Ф. Демонтис // Теоретическая и математическая физика. – 2011. – Т. 168, № 1. – С. 35–48.
4. Царев, С. П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными / С. П. Царев // Теоретическая и математическая физика. – 2000. – Т. 122, № 1. – С. 144–160.
5. Method for solving the Korteweg – de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Physical Review Letters. – 1967, № 19. – P. 1095–1097.
6. The Korteweg – de Vries equation and generalizations. VI. Method for exact solutions / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Communications on Pure and Applied Mathematics. – 1974. – № 27. – P. 97–133.
7. Hirota, R. Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons / R. Hirota // Physical Review Letters. – 1971. – № 27. – P. 1192–1194.
8. Ablowitz, M. J. Solitons, nonlinear equations and inverse scattering / M. J. Ablowitz, P. A. Clarkson. – Cambridge : Cambridge University Press, 1991. – 516 p.
9. Барбашов, Б. М. Преобразование Бэклунда для уравнения Лиувилля и калибровочные условия в теории релятивистской струны / Б. М. Барбашов, В. В. Нестеренко // Теоретическая и математическая физика. – 1983. – Т. 56, № 2. – С. 180–191.
10. Кривонос, С. О. Суперполевые расширения уравнения Лиувилля : дис. … канд. физ.-матем. наук : 01.04.02 / Кривонос С. О. – Дубна, 1984. – 109 с.
11. Иванов, Е. А. Преобразования Бэклунда для суперрасширений уравнения Лиувилля / Е. А. Иванов, С. О. Кривонос // Теоретическая и математическая физика. – 1986. – Т. 66, № 1. – С. 90–101.
12. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. – Москва : Физматлит, 2005. – 256 с.
13. Тарасевич, Ю. Ю. Нахождение и визуализация автомодельных решений дифференциальных уравнений в частных производных средствами Maple : метод. рекомендации / Ю. Ю. Тарасевич. – Астрахань, 2010. – 23 с.
14. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис. – Москва : Мир, 1985. – 472 с.
15. Редькина, Т. В. Преобразования Бэклунда для системы уравнений в частных производных третьего порядка / Т. В. Редькина // Наука. Инновации. Технологии. – 2017. – № 4. – С. 23–42.
16. Construction of Backlund transformations by the Clearance method for solving the generalized Liouville equation / R. G. Zakinyan, A. R. Zakinyan, T. V. Redkina, O. B. Surneva, O. S. Yanovskaya // Axioms. – 2019. – Vol. 8, № 45. – P. 1–17.
17. Закинян, Р. Г. Преобразования Бэклунда для нелинейных уравнений с гиперболической линейной частью / Р. Г. Закинян, Т. В. Редькина // Перспективные направления науки и техники : материалы VIII Междунар. науч.-практ. конф. (7–15 сентября 2012 г.). – Вып. 18. – Пшемысль : Наука и студия, 2012. – С. 24–28.
18. Сурнева, О. Б. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка / О. Б Сурнева, О. С. Яновская // Наука. Инновации. Технологии. – 2018. – № 3. – С. 37–52.
19. Лэм, Д. Л. Введение в теорию солитонов / Д. Л. Лэм. – Москва : Мир, 1983. – 294 с.
20. Погорелов, А. В. Многомерное уравнение Монжа – Ампера / А. В. Погорелов. – Москва : Наука, 1988. – 96 с.
|
